Mapa múndi: por que a Groenlândia parece maior que a África

Na parede da sala de aula, a Groenlândia aparece do tamanho da África. No globo em cima do armário, ela encolhe pra um respingo branco no alto. As duas imagens saem do mesmo planeta, e uma delas está errada sobre área.

O mapa múndi é uma folha plana e o planeta é uma bola. Nenhuma folha cobre uma bola sem esticar, rasgar ou amassar alguma coisa, e a impossibilidade está demonstrada desde o começo do século 19, no teorema de superfícies curvas que Carl Friedrich Gauss publicou com o nome de Theorema Egregium.

A partir dali, todo mapa do mundo virou escolha do que sacrificar. São quatro propriedades em disputa: área, forma, distância e direção. Nenhuma projeção guarda as quatro juntas, e a pergunta útil deixa de ser qual mapa está certo pra virar qual propriedade você precisa hoje.

A área: a Groenlândia cabe catorze vezes dentro da África

A Groenlândia tem perto de 2,1 milhões de quilômetros quadrados, pelo registro do serviço de estatística do próprio território. O continente africano soma perto de 30 milhões, pelos números que as Nações Unidas publicam no anuário de países. A ilha cabe catorze vezes no continente, e na parede as duas manchas parecem empatar.

A responsável é a projeção de Mercator. Ela estica os paralelos conforme eles sobem em direção ao polo, pra manter os ângulos corretos, e precisa esticar a mesma medida no sentido norte-sul. No paralelo 60, a escala já é o dobro da escala do equador. Perto do polo a conta dispara, e o desenho acaba cortado antes do fim: o polo ficaria a uma distância infinita da linha do equador.

Projeções equivalentes resolvem a área e cobram em forma. A Gall-Peters, que ganhou o mundo quando Arno Peters a apresentou na década de 1970, guarda a área e alonga os continentes na vertical. A Equal Earth, publicada por um trio de cartógrafos em 2018 numa revista de informação geográfica, guarda a mesma área e devolve contorno reconhecível.

A forma: o que Mercator guarda, e por que ele guarda

Mercator é uma projeção conforme, que em cartografia quer dizer uma coisa só: o ângulo medido no mapa é o ângulo do terreno. Um pedaço pequeno de costa sai com a forma certa, e um cruzamento de ruas em noventa graus continua em noventa graus no papel.

O preço está na escala, que muda de lugar pra lugar dentro da mesma folha. A forma local fica preservada e o tamanho comparado se perde, tudo pela mesma operação de esticar. Quem olha o mapa vê contorno confiável e área falsa, ao mesmo tempo, sem aviso.

A carta que Gerardus Mercator publicou em 1569 já declarava a finalidade no título: uma descrição da Terra ajustada ao uso de quem navega. O desenho não foi feito pra sala de aula. Foi feito pra mesa de quem conduzia um barco.

A distância: a régua na folha mede o papel, não o mundo

Distância só sai correta do mapa quando a projeção foi construída pra guardar essa propriedade, e mesmo aí a garantia costuma valer a partir de um ponto só.

A azimutal equidistante é o exemplo. Escolhe-se um centro, e toda distância medida a partir dele fica certa, em qualquer direção. O emblema das Nações Unidas usa esse desenho, centrado no polo norte, como descreve o manual de uso do emblema da organização.

Saia do centro escolhido e a medida volta a mentir. Duas cidades quaisquer no mapa da ONU não guardam entre si a distância que a régua marca, porque a projeção nunca prometeu essa medida.

A direção: o rumo constante que levou o desenho pra bordo

Na folha de Mercator, uma reta traçada entre dois pontos cruza todos os meridianos no mesmo ângulo. Quem seguisse aquela linha mantinha um único rumo de bússola do começo ao fim do trecho, sem recalcular nada no meio do oceano.

O caminho não é o mais curto, e sim o mais simples de manter com instrumento de agulha. Foi o bastante pra projeção virar padrão de carta de navegação, e os serviços hidrográficos de vários países ainda publicam cartas nesse desenho.

Qual projeção serve cada uso

• Comparar tamanho de país: equivalente, como a Equal Earth ou a Gall-Peters.
• Mapa geral de referência: compromisso, como a Robinson e a Winkel Tripel, que a National Geographic adotou no fim da década de 1990.
• Manter rumo de bússola: Mercator, que nasceu pra tarefa.
• Medir distância a partir de uma cidade: azimutal equidistante centrada nela.
• Ver o mundo na tela do celular: a variante chamada de Web Mercator, adotada pelos serviços de mapa online, e a razão de a ilha do topo continuar gigante no seu bolso.

No fim da década de 1980, sete entidades de geografia e cartografia da América do Norte assinaram uma resolução pedindo que mapas-múndi retangulares saíssem das paredes de escola. O pedido não pegou em todo lugar. A folha retangular continua sendo a mais barata de imprimir, a mais fácil de pendurar e a única que cabe inteira num livro sem perder pedaço.

A escolha, então, é sua e é consciente. Antes de acreditar no tamanho de uma mancha, olhe o nome da projeção no rodapé do mapa. Ele costuma estar lá, em corpo miúdo, e explica quase tudo que a folha faz com o mundo.

Como o globo vira folha: as três superfícies que desenrolam

Existe uma razão geométrica para as projeções se repetirem em famílias, e ela é mais simples do que a matemática por trás.

Três superfícies podem ser abertas em plano sem esticar nada: o cilindro, o cone e o próprio plano. A esfera não está na lista, e é justamente essa ausência que o teorema de Gauss demonstra. O caminho prático da cartografia foi então projetar o globo sobre uma dessas três superfícies e desenrolar o resultado.

Da família cilíndrica saem os mapas retangulares, com meridianos verticais paralelos e paralelos horizontais. Ela preserva bem a região onde o cilindro toca o globo, em geral o equador, e distorce cada vez mais em direção aos polos. Mercator é o caso mais conhecido, e a Gall-Peters é uma cilíndrica de área correta.

Da família cônica saem os mapas em leque, com meridianos convergindo para um vértice. O cone toca o globo ao longo de um ou dois paralelos, e a distorção fica pequena numa faixa de latitude média. É a escolha usual para cartas de países que se estendem no sentido leste-oeste, como os Estados Unidos e a Rússia.

Da família azimutal saem os mapas circulares, produzidos projetando o globo sobre um plano que toca um único ponto. A distorção cresce em anéis a partir do centro, o que faz dela a escolha natural para mapas polares e para tudo que precise ser medido a partir de um lugar específico.

Há ainda uma quarta família, das projeções que não correspondem a nenhuma superfície desenrolável e são obtidas por fórmula direta, com o único objetivo de equilibrar erros. Robinson e Winkel Tripel estão aí, e daí vem o nome de projeções de compromisso.

A ferramenta que torna a distorção visível

Olhar dois mapas e adivinhar qual distorce mais é exercício de intuição, e a cartografia resolveu o problema com um instrumento gráfico.

A indicatriz de Tissot, proposta pelo matemático francês Nicolas Auguste Tissot no século 19, funciona assim: imagine círculos pequenos e idênticos desenhados sobre a superfície do globo, distribuídos de forma regular. Projete o globo e veja o que acontece com cada círculo no mapa resultante.

A leitura é imediata. Círculo que continua círculo e muda de tamanho indica projeção conforme, que preserva ângulo e erra área, o caso de Mercator. Elipse que muda de forma e mantém a mesma área indica projeção equivalente, que acerta o tamanho e deforma o contorno. Elipse que muda de forma e de tamanho ao mesmo tempo indica projeção de compromisso, que erra um pouco em tudo para não errar muito em nada.

O instrumento também mostra onde o erro está. Numa cilíndrica, as indicatrizes ficam quase perfeitas perto do equador e crescem monstruosamente perto dos polos. Numa cônica, elas ficam pequenas na faixa de latitude escolhida. Numa azimutal, crescem em anéis a partir do centro.

Vale a pena procurar uma imagem de indicatriz aplicada a Mercator uma vez na vida. Depois de ver os círculos do topo do mapa inchados a ponto de encostar uns nos outros, fica difícil olhar a Groenlândia da mesma forma.

Linha do tempo do mapa-múndi

1. Século 2Cláudio Ptolomeu compila em Alexandria a Geografia, com coordenadas de milhares de localidades e instruções de projeção que reaparecem na Europa mais de mil anos depois.
2. 1569Gerardus Mercator publica a carta que leva o nome dele, declarando no título que o desenho foi ajustado ao uso de quem navega.
3. 1805Karl Mollweide apresenta uma projeção elíptica de área correta, ainda hoje usada em mapas temáticos de distribuição global.
4. 1963Arthur Robinson apresenta a projeção de compromisso encomendada para uso em atlas, feita para parecer certa em vez de acertar uma propriedade específica.
5. 1973Arno Peters divulga a projeção equivalente que leva o nome dele, e a apresentação transforma escolha de projeção em debate público.
6. 2018Um trio de cartógrafos publica a Equal Earth, projeção equivalente com contorno reconhecível, e a discussão volta às salas de aula com uma alternativa nova.

O tamanho real da ilha, em país inteiro

A Groenlândia e a Arábia Saudita têm quase a mesma área, com vantagem mínima pra ilha do gelo. Uma fica presa no Ártico e a outra no deserto, e as duas ocupam praticamente o mesmo pedaço de planeta.

O nome também promete mais do que entrega. A ilha entrou nos registros nórdicos antigos como terra verde, e a maior parte da superfície segue coberta pela camada de gelo, pelo levantamento do serviço geológico da Dinamarca e da Groenlândia.

Perguntas frequentes

Por que a Groenlândia parece maior que a África no mapa?

Por causa da projeção de Mercator, que estica os paralelos conforme eles se aproximam do polo para manter os ângulos corretos, e precisa esticar a mesma medida no sentido norte-sul. No paralelo 60 a escala já é o dobro da do equador. Na realidade, a Groenlândia cabe cerca de catorze vezes dentro da África.

Qual é o mapa-múndi mais correto?

Nenhum é correto em tudo, e a impossibilidade é matemática, demonstrada no teorema de superfícies curvas de Gauss. Área, forma, distância e direção não cabem juntas numa folha plana. A pergunta útil não é qual mapa está certo, e sim qual propriedade você precisa preservar naquele uso.

O que é uma projeção equivalente?

É a que preserva a área, permitindo comparar tamanhos de países de forma honesta, e cobra o preço na forma dos continentes. A Gall-Peters e a Equal Earth são exemplos, com a segunda entregando contornos mais reconhecíveis.

Por que a projeção de Mercator ainda é usada?

Porque ela preserva ângulos, e uma reta traçada nela cruza todos os meridianos no mesmo ângulo, o que permite manter um único rumo de bússola do começo ao fim de um trecho. Foi feita para navegação, e a variante chamada Web Mercator foi adotada pelos serviços de mapa online.

Qual projeção usar para comparar o tamanho dos países?

Uma equivalente, como a Equal Earth ou a Gall-Peters. Para mapa geral de referência, as de compromisso, como Robinson e Winkel Tripel, entregam um desenho equilibrado. Para medir distância a partir de uma cidade, a azimutal equidistante centrada nela.

O que é a indicatriz de Tissot?

Uma ferramenta gráfica que mostra a distorção: círculos idênticos desenhados no globo e observados depois da projeção. Círculo que continua círculo e muda de tamanho indica projeção conforme; elipse de mesma área indica projeção equivalente; mudança de forma e de tamanho ao mesmo tempo indica compromisso.

A Groenlândia tem o tamanho de qual país?

Ela tem área próxima à da Arábia Saudita, com vantagem mínima para a ilha, perto de 2,1 milhões de quilômetros quadrados pelo registro do serviço de estatística do território. O continente africano soma cerca de 30 milhões pelos números publicados pelas Nações Unidas.